Question

已知函數(shù)f（x）=lg[

1+2x+3x+…+(n-1)x+a•nx

n

]，a∈R，n∈N^*且n≥2，若f（x）在（-∞，1]上有意義，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=lg[

1+2x+3x+…+(n-1)x+a•nx

n

]，可得a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x]．已知f（x）在（-∞，1]上有意義，而y=(

i

n

)x（i∈N^*，i≤n-1），在（-∞，1]上單調(diào)遞減，可得-[(

1

n

)x+(

1

n

)x+…+(

i-1

n

)x]在（-∞，1]上單調(diào)遞增．即可得出．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=lg[

1+2x+3x+…+(n-1)x+a•nx

n

]，
可得

1+2x+3x+…+(n-1)x+a•nx

n

＞0，
∴a＞-[(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x]，
∵f（x）在（-∞，1]上有意義，
而y=(

i

n

)x（i∈N^*，i≤n-1），在（-∞，1]上單調(diào)遞減，
∴-[(

1

n

)x+(

1

n

)x+…+(

i-1

n

)x]在（-∞，1]上單調(diào)遞增．
∴a＞-(

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

)=-

n-1

2

．
∴a的范圍是a＞-

n-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．