Question

13．已知空間四個向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrowzqbuldk$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrowkejsza3$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為60°，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow113doyf$夾角為90°，則|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{c}$+t$\overrightarrowgreoyw4$|²（t∈R）最小值是$\frac{15}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrowjy0rn8o$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為60°，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrowaxllgoo$夾角為90°
∴|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{c}$+t$\overrightarrowttrv3cg$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+t²|$\overrightarrow$|²+2t|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos60°+|$\overrightarrow{c}$|²+t²|$\overrightarrowt4lkuni$|²+2t•|$\overrightarrow{c}$|•|$\overrightarrowpiuqv76$|•cos90°
=1+t²+t+1+t²=2t²+t+2=2（t+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{15}{8}$，
當t=-$\frac{1}{4}$時有最小值，最小值為$\frac{15}{8}$，
故答案為：$\frac{15}{8}$

點評 本題考查了向量的數(shù)量積的運算和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．