Question

如圖，摩天輪的半徑OA為50m，它的最低點A距地面的高度忽略不計．地面上有一長度為240m的景觀帶MN，它與摩天輪在同一豎直平面內(nèi)，且AM＝60m．點P從最低點A處按逆時針方向轉(zhuǎn)動到最高點B處，記AOP＝， ∈(0，π)．

（1）當 ＝ 時，求點P距地面的高度PQ；

（2）試確定 的值，使得MPN取得最大值．

 

Answer 1

解：（1）由題意，得PQ＝50－50cos ．

從而，當 ＝ 時，PQ＝50－50cos＝75．

即點P距地面的高度為75m．                     

（2）（方法一）由題意，得AQ＝50sin ，從而MQ＝60－50sin ，NQ＝300－50sin ．

又PQ＝50－50cos ，

由g()＝0，得sin ＋cos －1＝0，解得 ＝ ．

當 ∈(0，)時，g( )＞0，g( )為增函數(shù)；當 ∈(，)時，g( )＜0，g( )為減函數(shù)，

所以，當 ＝ 時，g( )有極大值，也為最大值．

因為0＜MPQ＜NPQ＜，所以0＜MPN＜，

從而當g( )＝tanMPN取得最大值時，MPN取得最大值．

即當 ＝ 時，MPN取得最大值．            

（方法二）以點A為坐標原點，AM為x軸建立平面直角坐標系，

則圓O的方程為 x2＋(y－50)2＝502，即x2＋y2－100y＝0，點M(60，0)，N(300，0)．

設(shè)點P的坐標為 (x0，y0)，所以Q (x0，0)，且x02＋y02－100y0＝0．

       

（下同方法一）