Question

4．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lg$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-1）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍[0，+∞）∪（-∞，-3]∪{-1}．

Answer 1

分析 當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=）=lg$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=lg$\frac{1}{1+{2}^{-x}}$，可得f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．由于對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0即f（t+a）＞f（t-1）恒成立，又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得|t+a|＞|t-1|，轉(zhuǎn)化為（2a+2）t+a²-1＞0，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=）=lg$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=lg$\frac{1}{1+{2}^{-x}}$，
∵y=2^-x是減函數(shù)，可得f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0即f（t+a）＞f（t-1）恒成立，
又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴|t+a|＞|t-1|，⇒（2a+2）t+a²-1＞0在t∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（2a+2）{+a}^{2}-1≥0}\\{2（2a+2）+{a}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a≥0}\\{{a}^{2}+4a+3≥0}\end{array}\right.$解得a≥0或a≤-3或a=-1
故答案為：[0，+∞）∪（-∞，-3]∪{-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，恒成立問題的處理，屬于中檔題．