Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)F（x）=$\frac{g（x）}{x}$-f′（x）+2a+1在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分a=0與a≠0兩種情況討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，
（2）先求函數(shù)函數(shù)F（x）的表達(dá)式，把函數(shù)F（x）的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為求方程F（x）=0的根，再構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求解．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2x在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，符合題意．
當(dāng)a≠0時(shí)，y=f（x）的對稱軸方程為x=-$\frac{2}{a}$，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以-$\frac{2}{a}$≤1，解得a≤-2或a＞0，
綜上，a的取值范圍是a≥0，或a≤-2．  
（2）F（x）=$\frac{lnx}{x}$-（ax+2）+（2a+1），函數(shù)T（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴F（x）=0，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根，
設(shè)H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx  （x＞0）
H′（x）=2ax+（1-2a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax+1）（x-1）}{x}$，
令H′（x）=0，因a為正數(shù)，解得x=1或x=-$\frac{1}{2a}$（舍）
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)，
為滿足題意，只需H（x）在（$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，
故$\left\{\begin{array}{l}{H（\frac{1}{2}）＞0}\\{{H（x）}_{min}=H（1）＜0}\\{H（2）＞0}\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜$\frac{2+4ln2}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，關(guān)鍵是相互轉(zhuǎn)化．