Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax-2lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，函數(shù)y=x•f（x）有幾個極值點？
（Ⅱ）若f（x）≤0對于x∈（$\frac{1}{e}$，e）的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時，設(shè)F（x）=x•f（x）=x²-2xlnx，利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得答案；
（Ⅱ）若f（x）≤0對于x∈（$\frac{1}{e}$，e）的解集非空，則存在$x∈（\frac{1}{e}，e）$使$a≤\frac{2lnx}{x}$成立．進而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x-2lnx，
設(shè)F（x）=x•f（x）=x²-2xlnx，
則F'（x）=2x-2lnx-2=2[（x-1）-lnx]（x＞0）．
令h（x）=x-1-lnx，則$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
所以當(dāng)0＜x＜1時，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
所以當(dāng)x=1時h（x）_min=h（1）=0，
所以當(dāng)x＞0時F'（x）≥0恒成立，
所以函數(shù)y=x•f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點．
（Ⅱ）因為f（x）≤0，即ax-2lnx≤0．
問題等價于存在$x∈（\frac{1}{e}，e）$使$a≤\frac{2lnx}{x}$成立．
令$g（x）=\frac{2lnx}{x}$，則$g'（x）=\frac{2（1-lnx）}{x^2}$．
因為$x∈（\frac{1}{e}，e）$，所以-1＜lnx＜1，
所以g'（x）＞0在$（\frac{1}{e}，e）$上恒成立，
所以g（x）在$（\frac{1}{e}，e）$上單調(diào)遞增，
所以$g（\frac{1}{e}）＜g（x）＜g（e）$，
即$-2e＜g（x）＜\frac{2}{e}$，
所以$a＜\frac{2}{e}$．

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，恒成立問題，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．