Question

9．已知雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為x-$\sqrt{2}$y=0，焦距為2$\sqrt{3}$．～
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx（k＞0）與雙曲線E交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)C，交雙曲線E于另一點(diǎn)A₁，連接BC交雙曲線E于點(diǎn)D，求證：AD⊥OA₁．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的漸近線方程，由題意可得a，b的方程組，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（2）由y=kx代入雙曲線方程x²-2y²=2，解得A，B的坐標(biāo)，由題意可得C，A₁的坐標(biāo)，求得直線BC的方程代入雙曲線的方程解得D的坐標(biāo)，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得證．

解答 解：（1）雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且c=$\sqrt{3}$，即a²+b²=3，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1；
（2）證明：由y=kx代入雙曲線方程x²-2y²=2，
解得x=±$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$，
即有A（$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$，k$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$），B（-$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$，-k$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$），
由題意可得C（$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$，0），A₁（$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$，-k$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$），
由BC：y=$\frac{k}{2}$（x-$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$），代入雙曲線x²-2y²=2，
可得$\frac{2-{k}^{2}}{2}$x²+k²$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$x-$\frac{2-3{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$=0，
由-$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$x_D=$\frac{2（3{k}^{2}-2）}{（2-{k}^{2}）（1-2{k}^{2}）}$，
解得x_D=$\frac{3{k}^{2}-2}{{k}^{2}-2}$•$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$，
即有D（$\frac{3{k}^{2}-2}{{k}^{2}-2}$•$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$，$\frac{{k}^{3}}{{k}^{2}-2}$•$\sqrt{\frac{2}{1-2{k}^{2}}}$），
則k_AD=$\frac{k-\frac{{k}^{3}}{{k}^{2}-2}}{1-\frac{3{k}^{2}-2}{{k}^{2}-2}}$=$\frac{-2k}{-2{k}^{2}}$=$\frac{1}{k}$，
又k${\;}_{O{A}_{1}}$=-k，
即有k${\;}_{O{A}_{1}}$•k_AD=-1，
則AD⊥OA₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用漸近線方程，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程求交點(diǎn)，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．