Question

15．若命題“?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式e^xsinx≥kx”是真命題，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，e${\;}^{\frac{π}{2}}$]
• C． （1，e${\;}^{\frac{π}{2}}$）
• D． [e${\;}^{\frac{π}{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 令f（x）=e^xsinx-kx，由于“?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式e^xsinx≥kx”是真命題，可得f′（x）≥0恒成立，即可得出．

解答 解：令f（x）=e^xsinx-kx，∵“?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式e^xsinx≥kx”是真命題，
∴f′（x）=e^x（sinx+cosx）-k≥0恒成立，
∴k≤e^x（sinx+cosx）的最小值，
令g（x）=e^x（sinx+cosx），g′（x）=2e^xcosx≥0，∴函數(shù)g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]單調遞增，
∴g（x）≥g（0）=1，即k≤1．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、復合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．