Question

20．已知點(diǎn)F₁、F₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足|F₁F₂|=2|OP|，|PF₁|≥3|PF₂|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． [$\frac{\sqrt{10}}{2}$，+∞）
• C． （1，$\frac{\sqrt{10}}{2}$]
• D． （1，$\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 由直角三角形的判定定理可得△PF₁F₂為直角三角形，且PF₁⊥PF₂，運(yùn)用雙曲線的定義，可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|≥3|PF₂|，可得|PF₂|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，運(yùn)用離心率公式，即可得到所求范圍．

解答 解：由|F₁F₂|=2|OP|，可得|OP|=c，
即有△PF₁F₂為直角三角形，且PF₁⊥PF₂，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
由雙曲線定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|≥3|PF₂|，可得|PF₂|≤a，
即有（|PF₂|+2a）²+|PF₂|²=4c²，
化為（|PF₂|+a）²=2c²-a²，
即有2c²-a²≤4a²，
可得c≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
由e=$\frac{c}{a}$可得
1＜e≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用雙曲線的定義和直角三角形的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．