Question

20．過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（　�。�

• A． $（{1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，2}）$
• C． $（1，\sqrt{3}）$
• D． （1，2）

Answer 1

分析 當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，可得$\frac{a}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再利用離心率的計(jì)算公式即可得出e＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；再由當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則$\frac{a}$＜$\sqrt{3}$，求得e＜2，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，可得$\frac{a}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即b²＞$\frac{1}{3}$a²，c²＞$\frac{4}{3}$a²，
可得e＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
又當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則$\frac{a}$＜$\sqrt{3}$，即b²＜3a²，c²＜4a²，
可得e＜2．
綜上可得，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜e＜2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離心率的范圍，注意運(yùn)用漸近線的斜率與直線的斜率的關(guān)系，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．