Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

分析 （I）取PD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME，MF，則可證四邊形BEMF是平行四邊形，得出BE∥MF，從而證明結(jié)論；
（II）V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-CDF=$\frac{1}{3}{S}_{△CDF}•\frac{1}{2}PA$．

解答 證明：（I）取PD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME，MF，
∵E是PC的中點(diǎn)，∴EM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．
又F是AB的中點(diǎn)，且ABCD是菱形，
∴BF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．
∴BF$\stackrel{∥}{=}$ME．
∴四邊形MEBF是平行四邊形，
∴BE∥MF．
又BE?平面PDF，MF?平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（II）E是PC的中點(diǎn)
點(diǎn)P到平面EFD的距離與點(diǎn)C到平面EFD的距離相等，
故V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-CDF，
又S_△CDF=$\frac{1}{2}{S}_{菱形ABCD}$=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，E到平面DFC的距離$h=\frac{1}{2}PA=\frac{3}{2}$，
∴V_P-DEF=V_E-CDF=$\frac{1}{3}{S}_{△CDF}•h$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，將棱錐進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化找到與之體積相等的棱錐是關(guān)鍵．