Question

17．已知拋物線y²=2x的弦AB的中點坐標為（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），則|AB|=（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． 4

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，兩式相減可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2（x₁-x₂），由弦AB的中點坐標為（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），從而可求k_AB=$\sqrt{2}$，得到直線方程，代入拋物線方程，求出x，即可求出|AB|．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2x₁，y₂²=2x₂．
兩式相減可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2（x₁-x₂）
由弦AB的中點坐標為（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得y₁+y₂=$\sqrt{2}$
∴k_AB=$\sqrt{2}$，
∴直線AB的方程為y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$（x-1），即y=$\sqrt{2}$x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
代入y²=2x可得x²-2x+$\frac{1}{4}$=0，∴x=1±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+2}•\sqrt{3}$=3．
故選：A．

點評 本題主要考查了直線與拋物線的相交關系的應用，解答本題的方法：點差法要求考生熟練掌握．