Question

12．知直線l：y=-（x+b）與拋物線y²=2x交于點(diǎn)A、B，且以AB為直徑的圓與x軸相切，則b=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線l：y=-（x+b）與拋物線y²=2x，得y²+2y+2b=0．由此利用根的判別式、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出b的值．

解答 解：聯(lián)立直線l：y=-（x+b）與拋物線y²=2x，
消x并化簡整理得y²+2y+2b=0．
依題意應(yīng)有△=4-8b＞0，解得b＜$\frac{1}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=-2，y₁y₂=2b，
設(shè)圓心Q（x₀，y₀），則應(yīng)有y₀=-1．
∵以AB為直徑的圓與x軸相切，
得到圓半徑為r=|y₀|=1，
又|AB|=$\sqrt{2}•$|y₁-y₂|=$\sqrt{2}•\sqrt{4-8b}$．
∴$\sqrt{2}•\sqrt{4-8b}$=2，解得b=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與拋物線、圓等知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．