Question

5．如題（19）圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形BDEF為F平行四邊形，平面BDEF⊥平面ACE，設(shè)AC∩BD=O，AB=AC=2，BF=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）證明：平面BDEF⊥平面ABCD，
（Ⅱ）若點(diǎn)D到平面ACE的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求二面角C-EF-O的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理證明AC⊥平面BDEF即可證明平面BDEF⊥平面ABCD，
（Ⅱ）根據(jù)二面角平面角的定義，作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∵平面BDEF⊥平面ACE，
∴AC⊥平面BDEF，
∵AC?平面ABCD，
∴平面BDEF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）∵平面BDEF⊥平面ACE，
∴過D作DM⊥OE，則DM⊥平面ACE，
則DM是點(diǎn)D到平面ACE的距離，即DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB=AC=2，BF=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{3}$，OM=$\sqrt{O{D}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
則OE=2OM=3，
∵DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠DOM=30°，即∠FEO=∠DOM=30°，
過O作OH⊥FH與H，連接CH，
則∠CHO是二面角C-EF-O平面角，
OH=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{3}{2}$，
則tan∠CHO=$\frac{OC}{OH}$=$\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
即二面角C-EF-O的正切值是$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查面面垂直的判斷以及二面角的求解，根據(jù)面面垂直的判定定理證明線面垂直以及作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力．