Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，有下列四個(gè)命題：
p₁：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f（$\frac{{x}_{0}+x}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{0}）+f（x）}{2}$
p₂：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f（$\frac{{x}_{0}+x}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{0}）+f（x）}{2}$
p₃：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f′（x₀）＜$\frac{f（{x}_{0}+x）-f（{x}_{0}）}{x}$
p₄：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f′（x₀）＞$\frac{f（{x}_{0}+x）-f（{x}_{0}）}{x}$
其中的真命題是（　　）

• A． p₁，p₂
• B． p₁，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 先求函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f″（x）=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$；從而由f″（x）=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$有正有負(fù)知p₁假p₂真，再由f（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在[e，+∞）上是減函數(shù)知p₃假，p₃真．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f″（x）=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$；
∵f″（x）=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$有正有負(fù)，
∴p₁：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f（$\frac{{x}_{0}+x}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{0}）+f（x）}{2}$是假命題，
p₂：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f（$\frac{{x}_{0}+x}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{0}）+f（x）}{2}$是真命題；
∵當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在[e，+∞）上是減函數(shù)，
故令x₀=e，則f′（x₀）=0，
且f（x₀+x）＜f（x₀），
故f′（x₀）＞$\frac{f（{x}_{0}+x）-f（{x}_{0}）}{x}$；
故p₄：?x₀∈R₊，?x∈R₊，f′（x₀）＞$\frac{f（{x}_{0}+x）-f（{x}_{0}）}{x}$是真命題，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了凸、凹函數(shù)的判斷與應(yīng)用，屬于難題．