Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足

a1=2 a2=8 an+1+an-1=can，(n≥2).

（c為常數(shù)，n∈N^*）
（1）當(dāng)c=2時(shí)，求a_n；
（2）當(dāng)c=1時(shí)，求a₂₀₁₄的值；
（3）問(wèn)：使a_n+3=a_n恒成立的常數(shù)c是否存在？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）c=2時(shí)，推出關(guān)系式a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，進(jìn)而推出遞推公式，再利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）觀察數(shù)列特點(diǎn)，利用數(shù)列的周期性即可求解．
（3）假設(shè)存在常數(shù)c，使a_n+3=a_n恒成立，利用此關(guān)系式求出c，并進(jìn)行驗(yàn)證．

解答： 解：（1）c=2時(shí)，a_n+1+a_n-1=2a_n （n≥2）
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
∴a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2=…=a₂-a₁=6
∴a_n=a_n-1+6 （n≥2）
∴n≥2時(shí)，
a_n=a_n-1+6=a_n-2+6×2=…=a₂+6×（n-2）=6n-4
又n=1時(shí)，亦有a₁=6×1-4=2 成立
綜上可知，a_n=6n-4
（2）c=1時(shí)，a_n+1+a_n-1=a_n （n≥2）
∴a_n+3=a_n+2-a_n+1=-a_{n，
a3=a2-a1=6，a4=a3-a2=-2}
∴a_n+6=a_n+3+3=-a_n+3=a_n
∴數(shù)列{a_n}為一周期為6的數(shù)列．
∵2014=335×6+
∴a₂₀₁₄=a₄=-2．
（3）假設(shè)存在常數(shù)c，使a_n+3=a_n恒成立．
∵a_n+3=a_n
a_n+2+a_n=ca_n+1
∴a_n-1+a_n=ca_{n+1 ①}
又a_n+1+a_n-1=ca_{n ②}
①式減②式得，（a_n+1-a_n）（1+c）=0．
∴a_n+1-a_n=0，或1+c=0．
又n∈N*，a_n+1-a_n=0時(shí)，數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列，不滿(mǎn)足要求．
∴1+c=0
∴c=-1
c=-1時(shí)，有：
a_n+1+a_n-1=-a_n，即對(duì)于n∈N且n≥2，都有a_n+1=-a_n-a_n-1．
∴a_n+3=-a_n+2-a_n+1，a_n+2=-a_n+1-a_n．
∴a_n+3=-a_n+2-a_n+1，=a_n+1+a_n-a_n+1=a_n（n≥1）．
所以存在常數(shù)c=-1，使a_n+3=a_n恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了利用數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，屬于難題．