Question

在平面直角坐標系中，已知點A(，0)，向量e＝(0,1)，點B為直線x＝－上的動點，點C滿足，點M滿足·e＝0，＝0.

(1)試求動點M的軌跡E的方程；

(2)設點P是軌跡E上的動點，點R、N在y軸上，圓(x－1)²＋y²＝1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

　(1)設M(x，y)，B(－，m)，則＝(x＋，y－m)，

∵＝(，0)＋(－，m)＝(0，m)，

∴C(0，)，

所以動點M的軌跡E的方程為y²＝2x.

(2)設P(x₀，y₀)，R(0，b)，N(0，c)，且b>c，

∴l_PR：y＝＋b，

即l_PR：(y₀－b)x－x₀y＋x₀b＝0，

由直線PR與圓相切得，＝1，注意到x₀>2，化簡得(x₀－2)b²＋2y₀b－x₀＝0，

同理得(x₀－2)c²＋2y₀c－x₀＝0，

所以b，c是方程(x₀－2)x²＋2y₀x－x₀＝0的兩根，

所以|b－c|＝

有S_△PRN＝·＋4≥8，當x₀＝4時△PRN的面積的最小值為8.