Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），左焦點(diǎn)F（-$\sqrt{3}$，0），且離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N不是左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）由題設(shè)知c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出橢圓C的方程．
（II）設(shè)M（x₁，y₁） N（x₂，y₂），右頂點(diǎn)A（2，0），由以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，知（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，把y=x+m代入橢圓方程，再由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能求出直線方程．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，
左焦點(diǎn)F（-$\sqrt{3}$，0），且離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，b²=4-3=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）證明：設(shè)M（x₁，y₁） N（x₂，y₂），右頂點(diǎn)A（2，0），$\overrightarrow{AM}$=（2-x₁，y₁），$\overrightarrow{AN}$=（2-x₂，y₂），
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，
∴（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²
∴4+（m-2）（x₁+x₂）+2x₁x₂+m²=0 ①
把y=x+m代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得$\frac{{x}^{2}}{4}$+（x+m）²=1，
整理，得$\frac{5}{4}$x²+2mx+m²-1=0，
所以x₁x₂=$\frac{4}{5}（{m}^{2}-1）$，x₁+x₂=-$\frac{8}{5}km$，②
把②入①，得
4+（km-2）•（-$\frac{8}{5}km$）+（1+k²）•$\frac{4}{5}（{m}^{2}-1）$+m²
=（5m²+16m+12）÷（1+4）
=（m+2）（5m+6）÷（1+4）=0
所以m+2=0 或者 m+$\frac{6}{5}$=0
當(dāng)m+2=0時(shí)，直線y=x-2恒過(guò)點(diǎn)（2，0）和A點(diǎn)重合顯然不符合
當(dāng)m+$\frac{6}{5}$=0時(shí) 直線恒過(guò)點(diǎn)（$\frac{6}{5}$，0）符合題意
∴直線l的方程y=x-$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．