Question

5．（1）在△ABC中，已知邊$BC=\sqrt{3}，AC=\sqrt{2}$，已知角B=45°，求角A；
若該題中的條件改為邊$BC=\sqrt{3}，AC=\sqrt{2}$，已知角A=60°，求角B；請根據(jù)該題的解答歸納判斷解三角形的一個解、兩個解的依據(jù)；
（2）A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC，求A的值；
（3）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a²-b²=$\sqrt{3}$bc，$sinC=2\sqrt{3}sinB$，求角A；
（4）在銳角△ABC，A，B，C的對邊分別是a，b，c，$\frac{a}+\frac{a}=6cosC$，求$\frac{tanC}{tanA}+\frac{tanC}{tanB}的值$．

Answer 1

分析 （1）①由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{sin4{5}^{°}}$，a＞b，A為銳角或鈍角，兩解．
②$BC=\sqrt{3}，AC=\sqrt{2}$，A=60°，由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinB}$，由a＞b，B為銳角．
綜上可得：已知a＞b，A為銳角，則B為銳角．已知a＞b，B為銳角，對b與asinB分類討論即可得出．
（2）由正弦定理可得：3acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理可得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sinA，即可得出．
（3）由$sinC=2\sqrt{3}sinB$，利用正弦定理可得：c=2$\sqrt{3}$b，又a²-b²=$\sqrt{3}$bc，可得a=$\sqrt{7}$b．再利用余弦定理即可得出．
（4）由$\frac{a}+\frac{a}=6cosC$，可得a²+b²=6abcosC，a²+b²=$\frac{3}{2}{c}^{2}$，變形$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{sinCsinC}{cosCsinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{abcosC}$，代入即可得出．

解答 解：（1）①由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{sin4{5}^{°}}$，可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵a＞b，∴A=60°或120^°．
②$BC=\sqrt{3}，AC=\sqrt{2}$，A=60°，由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinB}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∵a＞b，∴B=45°．
綜上可得：已知a＞b，A為銳角，則B為銳角．
已知a＞b，B為銳角，b＜asinB時，無解；b=asinB時，A=90°；asinB＜b＜a時，A有兩解．
（2）由正弦定理可得：3acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理可得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosA=$\frac{1}{3}$，∴A=arccos$\frac{1}{3}$．
（3）∵$sinC=2\sqrt{3}sinB$，由正弦定理可得：c=2$\sqrt{3}$b，又a²-b²=$\sqrt{3}$bc，∴a²=b²+6b²=7b²，即a=$\sqrt{7}$b．
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+12^{2}-7^{2}}{2b×2\sqrt{3}b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$．
（4）∵$\frac{a}+\frac{a}=6cosC$，∴a²+b²=6abcosC，b²+a²=6ab×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，可得a²+b²=$\frac{3}{2}{c}^{2}$，
∴$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=tanC•$\frac{cosAsinB+cosBsinA}{sinAsinA}$=$\frac{sinC•sin（A+B）}{cosCsinAsinB}$=$\frac{sinCsinC}{cosCsinAsinB}$=$\frac{{c}^{2}}{abcosC}$=$\frac{\frac{2（{a}^{2}+^{2}）}{3}}{\frac{{a}^{2}+^{2}}{6}}$=4．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．