Question

15．設橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的離心率為$\frac{1}{2}$，則直線y=6x與C的其中一個交點到y(tǒng)軸的距離為$\frac{2}{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由橢圓的方程可得c的值，結合橢圓的離心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}$=$\frac{1}{2}$，解可得a的值，就可得橢圓的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程解可得交點的橫坐標，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-3}$，
又由橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，則有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解可得a=2；
則橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
聯(lián)立直線與橢圓的方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=6x}\end{array}\right.$，
解可得x=$\frac{2}{7}$，
則直線y=6x與C的其中一個交點到y(tǒng)軸的距離為$\frac{2}{7}$；
故答案為：$\frac{2}{7}$．

點評 本題考查橢圓的幾何性質與橢圓的標準方程，關鍵是依據(jù)題意求出橢圓的標準方程．