Question

14．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，O點是△ABC的外心，滿足p$\overrightarrow{AO}$+λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$，其中p，λ，μ為非零實數(shù)，則$\frac{λ+μ}{p}$=-$\frac{13}{6}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AO}$，分別計算$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$列方程組解出$\frac{λ}{p}$，$\frac{μ}{p}$即可．

解答 解：∵p$\overrightarrow{AO}$+λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{AO}$=-$\frac{λ}{p}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{μ}{p}$$\overrightarrow{AC}$．
過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，D，E分別垂足，則D，E分別是AB，AC的中點．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2×1×cos120°=-1．
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{λ}{p}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{μ}{p}$$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{4λ}{p}$+$\frac{μ}{p}$，
$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{λ}{p}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{μ}{p}$$\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{λ}{p}$-$\frac{μ}{p}$．
又$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$AB²=2，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{1}{2}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4λ}{p}+\frac{μ}{p}=2}\\{\frac{λ}{p}-\frac{μ}{p}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{λ}{p}$=-$\frac{5}{6}$，$\frac{μ}{p}$=-$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{λ+μ}{p}$=$\frac{λ}{p}$+$\frac{μ}{p}$=-$\frac{13}{6}$．
故答案為：-$\frac{13}{6}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，平面向量的幾何意義，屬于中檔題．