Question

已知雙曲線C₁：

13x2

16

-

13y2

36

=1，點A、B分別為雙曲線C₁的左、右焦點，動點C在x軸上方．
（1）若點C的坐標為C（x₀，3）（x₀＞0）是雙曲線的一條漸近線上的點，求以A、B為焦點且經(jīng)過點C的橢圓的方程；
（2）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圓的方程；
（3）若在給定直線y=x+t上任取一點P，從點P向（2）中圓引一條切線，切點為Q．問是否存在一個定點M，恒有|PM|=|PQ|？請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線C₁的左、右焦點A、B的坐標和漸進線方程，由定義求出橢圓的長軸長，半焦距c，及b，即可得到橢圓方程；
（2）運用正弦定理

|AB|

sinC

=2R得到R=2

2

，又圓心在線段AB的垂直平分線上，求出圓心，即可得到圓的方程；
（3）假設存在這樣的定點M（m，n），設點P的坐標為（x，x+t）由恒有|PM|=|PQ|，運用兩點的距離公式和切線長公式，化簡得到（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0對x∈R恒成立．令系數(shù)為0，再消去m，由判別式的符號，即可判斷．

解答： 解：（1）雙曲線C₁的左、右焦點A、B的坐標分別為（-2，0）和（2，0），
∵雙曲線的漸進線方程為：y=±

3

2

x，
∴點C的坐標為（x₀，3）（x₀＞0）是漸進線y=

3

2

x上的點，即點C的坐標為（2，3）．
∵|AC|=5，|BC|=3∴橢圓的長軸長2a=|AC|+|BC|=8＞|AB|=4，
∵半焦距c=2，∴b²=a²-c²=16-4=12．
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1；    
（2）∵

|AB|

sinC

=2R，∴2R=4

2

，即R=2

2

又圓心在線段AB的垂直平分線上，故可設圓心（0，s）（s＞0）
由4+s²=8，s=2．∴△ABC的外接圓的方程為x²+（y-2）²=8；
（3）假設存在這樣的定點M（m，n），設點P的坐標為（x，x+t）
∵恒有|PM|=|PQ|，∴（x-m）²+（x+t-n）²=x²+（x+t-2）²-8
即（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0對x∈R恒成立．
從而2m+2n-4=0且m²+n²-2nt+4t+4=0，消去m，得n²-（t+2）n+（2t+4）=0①
∵方程①的判別式△=t²-4t-12
∴①當-2＜t＜6時，方程①無實數(shù)解，∴不存在這樣的定點M；
②當t≤-2或t≥6時，方程①有實數(shù)解，此時

|0-2+t|

2

≥2

2

，即直線y=x+t與圓相離或相切，
故此時存在這樣的定點M．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的方程、定義和性質(zhì)，考查圓的方程的求法，切線長的求法，考查定點問題，以及化簡運算能力，屬于中檔題．