Question

1．若${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$${C}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$${C}_{n}^{n}$=$\frac{31}{n+1}$，求（1-2x）²ⁿ的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 由條件求得2ⁿ⁺¹-1=31，求得n=4，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：∵${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$${C}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$${C}_{n}^{n}$=$\frac{31}{n+1}$，∴（n+1）（${C}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$${C}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$${C}_{n}^{n}$）=31，
∴（n+1）+$\frac{n+1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{n+1}{3}$${C}_{n}^{2}$+…+$\frac{n+1}{n+1}$${C}_{n}^{n}$）=${C}_{n+1}^{1}$+${C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n+1}^{3}$+…+${C}_{n+1}^{n+1}$=2ⁿ⁺¹-1=31，
∴n=4，∴（1-2x）²ⁿ =（1-2x）⁸ 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r．
再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性值檢驗(yàn)可得，當(dāng)r=6時(shí)，第7項(xiàng)的系數(shù)最大為${C}_{8}^{6}$•2⁶=1792，
該項(xiàng)為T(mén)₇=1792x⁶．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．