Question

2．已知函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1
（1）求最小正周期；
（2）求最值及相應(yīng)x的集合；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)的最值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和周期公式可得；
（2）當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取最大值3，易得此時(shí)相應(yīng)x的集合，同理可得最小值和相應(yīng)的x集合；
（3）由x的范圍可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，可得當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)取最大值3，當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值1-$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）由題意和周期公式可得函數(shù)的最小正周T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取最大值3，此時(shí)相應(yīng)x的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}；
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值-1，此時(shí)相應(yīng)x的集合為{x|x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z}；
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)取最大值3，
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值1-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象，涉及周期性和最值，屬中檔題．