Question

5．已知圓C：x²+y²-6x-8y-5t=0，直線l：x+3y+15=0．
（1）若直線l被圓C截得的弦長為$2\sqrt{10}$，求實數t的值；
（2）當t=1時，由直線l上的動點P引圓C的兩條切線，若切點分別為A，B，則在直線AB上是否存在一個定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據直線和圓相交，利用弦長公式進行求解即可．
（2）利用直線和圓相切的條件，建立方程關系進行求解判斷．

解答 解：（1）圓C的方程可化為（x-3）²+（y-4）²=25+5t
故圓心為C（3，4），半徑$r=\sqrt{25+5t}$
則圓心C到直線l的距離為$d=\frac{|3+12+15|}{{\sqrt{{1^2}+{3^2}}}}=3\sqrt{10}$
又弦長為$2\sqrt{10}$，則$r=\sqrt{{{（3\sqrt{10}）}^2}+{{（\sqrt{10}）}^2}}=10$即$\sqrt{25+5t}=10$，解得t=15…（4分）
（2）當t=1時，圓C的方程為x²+y²-6x-8y-5=0①
則圓心為C（3，4），半徑$r=\sqrt{30}＜3\sqrt{10}$，圓C與直線l相離假設在直線AB上存在一個定點滿足條件，設動點P（m，n）
由已知得PA⊥AC，PB⊥BC
則A，B在以CP為直徑的圓（x-3）（x-m）+（y-4）（y-n）=0
即x²+y²-（3+m）x-（4+n）y+3m+4n=0上②…（7分）
①-②得，直線AB的方程為（m-3）x+（n-4）y-3m-4n-5=0③
又點P（m，n）在直線l上，則m+3n+15=0，即m=-3n-15，代入③式
得（-3n-18）x+（n-4）y+9n+45-4n-5=0
即直線AB的方程為18x+4y-40+n（3x-y-5）=0…（10分）
因為上式對任意n都成立，故$\left\{\begin{array}{l}3x-y-5=0\\ 18x+4y-40=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$
故在直線AB上存在一個定點，定點坐標為（2，1）…（12分）

點評 本題主要考查直線和圓相交的弦長的計算和應用，利用直線和圓的位置關系是解決本題的關鍵．