Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABEF是長方形，DA⊥平面ABEF，BC∥AD，G，H分別為DF，CE的中點，且AD=AF=2BC．
（Ⅰ）求證：GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）求三棱錐E-BCD與D-BEF的體積之比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AD，BC的中點P，Q，連接GP，PQ，HQ，證明四邊形GPQH是平行四邊形，可得GH∥PQ，即可證明GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）證明FA⊥平面ABCD，即可求三棱錐E-BCD與D-BEF的體積之比．

解答： （Ⅰ）證明：取AD，BC的中點P，Q，連接GP，PQ，HQ，則GP∥FA，GP=

1

2

FA
同理HQ∥BE，HQ=

1

2

BE，
∵ABEF是長方形，∴GP∥HQ，GP=HQ，
∴四邊形GPQH是平行四邊形，
∴GH∥PQ，
∵GH?平面ABCD，PQ?平面ABCD，
∴GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：∵DA⊥平面ABEF，
∴DA⊥FA，
∵FA⊥AB，DA∩AB=A，
∴FA⊥平面ABCD，
∴V_E-BCD=

1

3

×

1

2

×BC×AB×AF，V_D-BEF=

1

3

×

1

2

×EF×BE×AD，
∵AD=AF=2BC，
∴V_E-BCD：V_D-BEF=1：2．

點評：本題考查線面平行的證明，考查錐體體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．