Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項，由于該數(shù)列的通項是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)列的和．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-2a_n-1+2，有a_n=2a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，有an=2n．（6分）
（2）由（1）知bn=log22n=n，有an•bn=n•2nTn=1×2+2×22+…+n×2n①
①×2，2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
整理得Tn=(n-1)•2n+1+2．（12分）

點評：本題考查數(shù)列通項公式及其前n項和公式的求法，其中涉及錯位相減法在數(shù)列求和問題中的應(yīng)用．