Question

若函數(shù)f（x）同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)：①f（x）是偶函數(shù)；②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x-

π

4

）=f（x+

π

4

），
則下列函數(shù)中，符合上述條件的有

 

．（填序號(hào)）
①f（x）=cos4x　   ②f（x）=sin（2x+

π

2

）    ③f（x）=sin（4x+

π

2

）　　④f（x）=cos（

3π

2

-4x）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由f（x-

π

4

）=f（x+

π

4

）求出函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)后得答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，由f（x-

π

4

）=f（x+

π

4

），
得f(x)=f(x+

π

2

)，即函數(shù)f（x）的周期為

π

2

．
函數(shù)f（x）=cos4x是偶函數(shù)，周期為

2π

4

=

π

2

．滿足條件；
函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，是偶函數(shù)，周期為π．不滿足條件．
函數(shù)f（x）=sin（4x+

π

2

）=cos4x是偶函數(shù)，周期為

2π

4

=

π

2

．滿足條件；
函數(shù)f（x）=cos（

3π

2

-4x）=-sin4x為奇函數(shù)．不滿足條件．
∴符合上述條件的有①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，是中檔題．