Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=2，試問在線段EF上是否存在點Q，使得二面角Q-AP-D的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點M，連接MF、MA，通過中位線定理可得EF∥AM，利用線面平行的判定定理即得結論；
（Ⅱ）以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，則平面PAD的法向量與平面PAQ的法向量的夾角的余弦值即為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，計算即可．

解答 證明：（Ⅰ）取PD中點M，連接MF、MA，
在△PCD中，F(xiàn)為PC的中點，∴MF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，
正方形ABCD中E為AB中點，∴AE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，∴AE$\underset{∥}{=}$MF，
故四邊形EFMA為平行四邊形，∴EF∥AM，
又∵EF?平面PAD，AM?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）結論：滿足條件的Q存在，是EF中點．
理由如下：
如圖：以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，
則P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
由題易知平面PAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
假設存在Q滿足條件：設$\overrightarrow{EQ}$=λ$\overrightarrow{EF}$，
∵$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，0，1），∴Q（$\frac{λ}{2}$，$\frac{1}{2}$，λ），$\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{λ}{2}$，$\frac{1}{2}$，λ），λ∈[0，1]，
設平面PAQ的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}x+\frac{1}{2}y+λz=0}\\{z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$=（1，-λ，0），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-λ}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
由已知：$\frac{-λ}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得：$λ=\frac{1}{2}$，
所以滿足條件的Q存在，是EF中點．

點評 本題考查二面角，空間中線面的位置關系，向量數(shù)量積運算，注意解題方法的積累，建立坐標系是解決本題的關鍵，屬于中檔題．