Question

18．如圖：在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AD=AC=AB=$\frac{1}{2}$DE=1，∠DAC=90°，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱錐D-BCE的體積．

Answer 1

分析 （1）取CE的中點(diǎn)M，連結(jié)MF，MB，證明四邊形ABMF是平行四邊形得到AF∥BM，利用直線與平面平行的判定定理證明AF∥平面BCE．
（2）證明AF⊥平面CDE，推出BM⊥平面CDE，通過平面與平面垂直的判定定理證明平面BCE⊥平面CDE．
（3）作DH⊥CE于H，則DH⊥平面CBE．求出AF，棱錐的底面面積，然后求解體積．

解答  解：（1）證明：取CE的中點(diǎn)M，連結(jié)MF，MB，
∵F是CD的中點(diǎn)
∴MF∥DE且MF=$\frac{1}{2}$DE
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD
∴AB∥DE，MF∥AB
∵AB=$\frac{1}{2}$DE∴MF=AB
∴四邊形ABMF是平行四邊形
AF∥BM，AF?平面BCE，BM⊆平面BCE
∴AF∥平面BCE…（4分）
（2）證明：∵AC=AD
∴AF⊥CD，又∵DE⊥平面ACD AF⊆平面ACD∴AF⊥DE，又CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE
又∵BM∥AF，∴BM⊥平面CDE
∵BM?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE…（8分）
（3）作DH⊥CE于H，則DH⊥平面CBE
由已知得：$CD=\sqrt{2}，DE=2，CE=\sqrt{6}，AF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
在Rt△CDE中，$DH=\frac{CD•DE}{CE}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，
${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}CE•BM=\frac{1}{2}CE•AF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴${V_{D-CBE}}=\frac{1}{3}{S_{△CBE}}•DH=\frac{1}{3}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體的體積，直線與平面的位置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系的判斷與證明，考查空間想象能力以及邏輯推理計(jì)算能力．