Question

7．已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為∠ABC=$\frac{2}{3}$π的菱形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)Q在直線PA上．
（1）證明直線QC⊥直線BD；
（2）若二面角B-QC-D的大小為$\frac{2π}{3}$，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求直線QM與AB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，由菱形性質(zhì)得BD⊥AC，由線面垂直得PA⊥BD，由此能證明直線QC⊥直線BD．
（2）由對(duì)稱性得二面角B-QC-A的大小為$\frac{π}{3}$，設(shè)底面ABCD的棱長為2，AQ=x，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E做QC的垂線，垂足設(shè)為F，過點(diǎn)M作AB的平行線交AD的中點(diǎn)為G，由此利用余弦定理能求出QM與AB所成角的余弦值．

解答 （1）證明：連結(jié)AC，∵底面ABCD為∠ABC=$\frac{2}{3}$π的菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∵QC?平面PAC，∴直線QC⊥直線BD．
（2）解：∵二面角B-QC-D的大小為$\frac{2π}{3}$，∴由對(duì)稱性得二面角B-QC-A的大小為$\frac{π}{3}$，
設(shè)底面ABCD的棱長為2，AQ=x，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)E，
則點(diǎn)B到平面AQC的距離BE為1，過點(diǎn)E做QC的垂線，垂足設(shè)為F，
則有tan∠BFE=tan$\frac{π}{3}$=$\frac{BE}{EF}$，BE=1，則EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，點(diǎn)A到QC的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則有$\frac{2\sqrt{3}}{3}•\sqrt{{x}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$x•2\sqrt{3}$，解得x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
過點(diǎn)M作AB的平行線交AD的中點(diǎn)為G，
則GM=2，QG=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，AM=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+2×1×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴QM=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+（\sqrt{7}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，
∴cos∠QMG=$\frac{Q{M}^{2}+G{M}^{2}-Q{G}^{2}}{2×QM×GM}$=$\frac{\frac{34}{4}+4-\frac{10}{4}}{2×\frac{\sqrt{34}}{2}×2}$=$\frac{5\sqrt{34}}{34}$，
∴所求的QM與AB所成角的余弦值為$\frac{5\sqrt{34}}{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查兩直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．