Question

1．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²-x．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，證明：f（x）在定義域上為減函數(shù)；
（2）若a∈R，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)情況．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為方程xlnx-ax²-x=0的根情況，由x＞0，得到方程可化為$a=\frac{lnx-1}{x}$，令$h（x）=\frac{lnx-1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=lnx+1-x-1=lnx-x，
令g（x）=lnx-x，則${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
所以g（x）_max=g（1）=-1，
即g（x）=lnx-x＜0，
所以f′（x）＜0，
所以f（x）在定義域上為減函數(shù)．
（2）f（x）=xlnx-ax²-x的零點(diǎn)情況，
即方程xlnx-ax²-x=0的根情況，
因?yàn)閤＞0，所以方程可化為$a=\frac{lnx-1}{x}$，
令$h（x）=\frac{lnx-1}{x}$，則${h^'}（x）=\frac{1-（lnx-1）}{x^2}=\frac{2-lnx}{x^2}$，
令h′（x）=0，可得x=e²，
當(dāng)0＜x＜e²時(shí)，h′（x）＞0，
當(dāng)x＞e²時(shí)，h′（x）＜0，
所以$h{（x）_{max}}=h（{e^2}）=\frac{1}{e^2}$，
且當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞；
當(dāng)x＞e²時(shí)，h（x）＞0，
所以h（x）的圖象大致如圖示：，
當(dāng)a＞$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，方程a=$\frac{lnx-1}{x}$沒有根，
當(dāng)a=$\frac{1}{{e}^{2}}$或a≤0時(shí)，方程$a=\frac{lnx-1}{x}$有一個(gè)根，
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{e^2}$時(shí)，方程$a=\frac{lnx-1}{x}$有兩個(gè)根，
所以當(dāng)$a＞\frac{1}{e^2}$時(shí)，函數(shù)f（x）無零點(diǎn)，
當(dāng)$a=\frac{1}{e^2}$或a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{e^2}$時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，是一道中檔題．