Question

9．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，底面ABCD的對(duì)角線BD在平面α內(nèi)，則正方體在平面α內(nèi)的影射構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是$[1，\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 設(shè)矩形BDD₁B₁與α所成銳二面角為θ，面積記為S₁，推出正方形A₁B₁C₁D₁與α所成銳二面角為$\frac{π}{2}-θ$．面積記為S₂，
求出陰影部分的面積的表達(dá)式，利用兩角和與差的三角函數(shù)求解最值即可．

解答 解：設(shè)矩形BDD₁B₁與α所成銳二面角為θ，面積記為S₁，
則正方形A₁B₁C₁D₁與α所成銳二面角為$\frac{π}{2}-θ$．
面積記為S₂，
所求陰影部分的面積
S=${S}_{1}cosθ+{S}_{2}cos（\frac{π}{2}-θ）$=S₁cosθ+S₂sinθ=$\sqrt{2}$cosθ+sinθ=$\sqrt{3}$sin（θ+β）
其中sinβ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故S∈$[1，\sqrt{3}]$．
故答案為：$[1，\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的應(yīng)用，空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，難度比較大．