Question

1．已知函數f（x）=$\frac{1}{x}$-x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是自然對數的底數）．
（1）若函數f（x）在定義域上不單調，求a的取值范圍；
（2）設函數f（x）的兩個極值點為x₁和x₂，記過點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直線的斜率為k，是否存在實數a，使得k$≤\frac{2e}{{e}^{2}-1}$a-2？若存在，求出a的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定義域和導數，令g（x）=x²-ax+1，討論①當a＜-2時，②當a＞2時，通過導數的符號確定單調性，即可得到所求a的范圍；
（2）假設存在滿足條件的實數a，運用直線的斜率公式，結合條件轉化為$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$≤\frac{2e}{{e}^{2}-1}$，通過構造函數F（x）=$\frac{1}{x}$-x+$\frac{{e}^{2}-1}{e}$lnx（x＞1），求出導數，判斷單調性，再由g（x₂）=x₂²-ax₂+1=0，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1+$\frac{a}{x}$=-$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4，△＞0可得a＞2或a＜-2，
①當a＜-2時，對稱軸x=$\frac{a}{2}$＜-1，g（0）=1＞0，
則當x＞0時，g（x）＞0，即f′（x）＜0，
則有f（x）在（0，+∞）遞減，不合題意；
②當a＞2時，g（x）的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$＞1，g（0）=1＞0，
則g（x）有兩個不等的實根x₁，x₂，
且0＜x₁＜1，x₂＞1，x₁x₂=1，
當x∈（0，x₁），x∈（x₂，+∞），f′（x）＜0，
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，
即f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）遞減，在（x₁，x₂）遞增．
則有a的取值范圍是（2，+∞）；
（2）假設存在滿足條件的實數a，由（1）知，a＞2．
由f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+（x₂-x₁）+a（lnx₁-lnx₂）
則k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$-1+a•$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
若k$≤\frac{2e}{{e}^{2}-1}$a-2，則$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$$≤\frac{2e}{{e}^{2}-1}$，
由①可設0＜x₁＜1，x₂＞1，且有x₁x₂=1，則x₁-x₂≤$\frac{{e}^{2}-1}{2e}$（lnx₁-lnx₂），
即$\frac{1}{{x}_{2}}$-x₂+$\frac{{e}^{2}-1}{e}$lnx₂≤0，（*）
由x₂＞1，F（x）=$\frac{1}{x}$-x+$\frac{{e}^{2}-1}{e}$lnx（x＞1），
并記x₁'=$\frac{1}{2}$[$\frac{{e}^{2}-1}{e}$-$\sqrt{（\frac{{e}^{2}-1}{e}）^{2}-4}$]，x₂'=$\frac{1}{2}$[$\frac{{e}^{2}-1}{e}$+$\sqrt{（\frac{{e}^{2}-1}{e}）^{2}-4}$]，
則由①②知F（x）在（1，x₁'）遞增，在（x₂'，+∞）遞減，且0＜x₁'＜1＜x₂'＜e，
又F（1）=F（e）=0，當x∈（1，e）時，F（x）＞0，當x∈（e，+∞）時，F（x）＜0，
由（*）知，F（x₂）≤0，故有x₂≥e，
由①知，g（x₂）=x₂²-ax₂+1=0，a=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$≥e+$\frac{1}{e}$，
（由于y=x+$\frac{1}{x}$在（e，+∞）遞增），
又a＞2，則有a的取值集合為{a|a≥e+$\frac{1}{e}$}．

點評 本題考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值，同時考查直線的斜率公式和不等式的存在性問題注意運用構造函數，參數分離，屬于難題．