Question

是否存在實(shí)數(shù)a，且a∈Z，使得函數(shù)y=tan（

π

4

-ax）在x∈（

π

8

，

5π

8

）上是單調(diào)遞增的？若存在，求出a的一個(gè)值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，且a∈Z，使得函數(shù)y=tan（

π

4

-ax）在x∈（

π

8

，

5π

8

）上是單調(diào)遞增的，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：y=tanx在每一個(gè)開區(qū)間（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z上都是增函數(shù)，則a＜0，求出y=tan（

π

4

-ax）的增區(qū)間，再由集合的包含關(guān)系，令k=0，即可得到結(jié)論．

解答：解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，且a∈Z，使得函數(shù)y=tan（

π

4

-ax）在x∈（

π

8

，

5π

8

）上是單調(diào)遞增的，
由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：y=tanx在每一個(gè)開區(qū)間（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z上都是增函數(shù)，
則a＜0，由kπ-

π

2

＜

π

4

-ax＜kπ+

π

2

，k∈Z，解得

kπ- 3π 4

-a

＜x＜

kπ+ π 4

-a

，
再由假設(shè)可得

kπ- 3π 4

-a

≤

π

8

＜

5π

8

≤

kπ+ π 4

-a

，
解得，當(dāng)k=0時(shí)，-

2

5

≤a≤6．
所以存在實(shí)數(shù)a且a=-1，使得函數(shù)y=tan（

π

4

-ax）在x∈（

π

8

，

5π

8

）上是單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題和易錯(cuò)題．