Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°．
（1）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$都是單位向量，求|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$垂足，求|$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （1）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$都是單位向量，根據(jù)向量數(shù)量積和模長的關系即可求|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$垂足，得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$）=0，結(jié)合數(shù)量積的定義建立方程即可求|$\overrightarrow$|．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$都是單位向量，
則|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=4|$\overrightarrow{a}$|²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²=4×1²+4×1×1×cos60°+1²=4+2+1=7，
則|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$．
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$垂足，
則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow$）=0
即2|$\overrightarrow{a}$|²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-5|$\overrightarrow$|²=0，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°．
∴2×2²-3×2|$\overrightarrow$|cos60°-5|$\overrightarrow$|²=0，
即8-3|$\overrightarrow$|-5|$\overrightarrow$|²=0．
得|$\overrightarrow$|=1或|$\overrightarrow$|=-$\frac{8}{5}$（舍），故|$\overrightarrow$|=1

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，根據(jù)定義建立方程關系是解決本題的關鍵．