Question

11．已知函數(shù)f（x）=3cos（2x+$\frac{π}{6}$），給出下列四個命題：
①表達式可改寫為f（x）=3sin（2x+$\frac{2π}{3}$）；
②由f（x₁）=f（x₂）=0可知x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
③f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{5π}{12}$，0）對稱；
④對所有的x∈R都有f（x+$\frac{5π}{12}$）=f（-x+$\frac{5π}{12}$）成立；
其中正確的命題是①④．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式，對函數(shù)解析式進行變形，可判斷①；根據(jù)對稱中心之間相差必是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍，可判斷②；求出函數(shù)對稱中心的坐標，可判斷③；根據(jù)x=$\frac{5π}{12}$是函數(shù)圖象的對稱軸，可判斷④．

解答 解：∵f（x）=3sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=3sin[（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{2}$]=3cos（2x+$\frac{π}{6}$），故①正確；
若f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂必是$\frac{T}{2}$的整數(shù)倍，由T=π，可得x₁-x₂必是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍，但不一定是π的整數(shù)倍，故②錯誤；
由2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z得：x=$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，不存在整數(shù)k使$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ=$\frac{5π}{12}$，故點（$\frac{5π}{12}$，0）不是函數(shù)圖象的對稱中心，故③錯誤；
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z得：x=$-\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，當k=1時，$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ=$\frac{5π}{12}$，x=$\frac{5π}{12}$是函數(shù)圖象的對稱軸，故對所有的x∈R都有f（x+$\frac{5π}{12}$）=f（-x+$\frac{5π}{12}$）成立，故④正確；
故正確的命題是：①④，
故答案為：①④

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．