Question

9．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x（x＞-1）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若k∈Z，且f（x-1）+x＞k（1-$\frac{3}{x}$）對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）對(duì)于在（0，1）中的任意一個(gè)常數(shù)a，是否存在正數(shù)x₀，使得e${\;}^{f（{x}_{0}）}$＜1-$\frac{a}{2}$x₀²成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=-$\frac{x}{x+1}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）化簡(jiǎn)可得xlnx+x-kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x-kx+3k，求導(dǎo)g′（x）=lnx+1+1-k=lnx+2-k，從而討論判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求最大值；
（3）假設(shè)存在這樣的x₀滿足題意，從而化簡(jiǎn)可得$\frac{a}{2}$x₀²+$\frac{{x}_{0}+1}{{e}^{{x}_{0}}}$-1＜0，令h（x）=$\frac{a}{2}$x²+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$-1，取x₀=-lna，從而可得h_min（x）=h（x₀）=$\frac{a}{2}$（-lna）²+alna+a-1，再令p（a）=$\frac{a}{2}$（lna）²+alna+a-1，從而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=-$\frac{x}{x+1}$，
∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；
（2）∵f（x-1）+x＞k（1-$\frac{3}{x}$），
∴l(xiāng)nx-（x-1）+x＞k（1-$\frac{3}{x}$），
∴l(xiāng)nx+1＞k（1-$\frac{3}{x}$），
即xlnx+x-kx+3k＞0，
令g（x）=xlnx+x-kx+3k，
則g′（x）=lnx+1+1-k=lnx+2-k，
∵x＞1，
∴l(xiāng)nx＞0，
若k≤2，g′（x）＞0恒成立，
即g（x）在（1，+∞）上遞增；
∴g（1）=1+2k≥0，
解得，k≥-$\frac{1}{2}$；
故-$\frac{1}{2}$≤k≤2，
故k的最大值為2；
若k＞2，由lnx+2-k＞0解得x＞e^k-2，
故g（x）在（1，e^k-2）上單調(diào)遞減，在（e^k-2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴g_min（x）=g（e^k-2）=3k-e^k-2，
令h（k）=3k-e^k-2，h′（k）=3-e^k-2，
∴h（k）在（1，2+ln3）上單調(diào)遞增，在（2+ln3，+∞）上單調(diào)遞減；
∵h(yuǎn)（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12-e²＞0，h（5）=15-e³＜0；
∴k的最大取值為4，
綜上所述，k的最大值為4．
（3）假設(shè)存在這樣的x₀滿足題意，
∵e${\;}^{f（{x}_{0}）}$＜1-$\frac{a}{2}$x₀²，
∴$\frac{a}{2}$x₀²+$\frac{{x}_{0}+1}{{e}^{{x}_{0}}}$-1＜0，
令h（x）=$\frac{a}{2}$x²+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$-1，
∵h(yuǎn)′（x）=x（a-$\frac{1}{{e}^{x}}$），
令h′（x）=x（a-$\frac{1}{{e}^{x}}$）=0得e^x=$\frac{1}{a}$，
故x=-lna，取x₀=-lna，
在0＜x＜x₀時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h′（x）＞0；
∴h_min（x）=h（x₀）=$\frac{a}{2}$（-lna）²-alna+a-1，
在a∈（0，1）時(shí)，令p（a）=$\frac{a}{2}$（lna）²-alna+a-1，
則p′（a）=$\frac{1}{2}$（lna）²≥0，
故p（a）在（0，1）上是增函數(shù)，
故p（a）＜p（1）=0，
即當(dāng)x₀=-lna時(shí)符合題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題．