Question

17．已知函數(shù)f（x）對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-3，并且當(dāng)x＞0時，f（x）＞3．
（1）求證：f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）若f（4）=2，解不等式f（3m²-m-2）＞$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0．由當(dāng)x＞0時，f（x）＞3．得到f（x₂-x₁）＞3，再對f（x₂）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-3變形得到結(jié)論；
（2）由f（4）=2，再將f（3m²-m-2）＞$\frac{5}{2}$轉(zhuǎn)化為f（3m²-m-2）＞f（2），由（1）中的結(jié)論，利用單調(diào)性求解．

解答 解：（1）證明：任取x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞3．
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-3＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-3=2，可得f（2）=$\frac{5}{2}$，
∴f（3m²-m-2）＞$\frac{5}{2}$=f（2），
又由（1）的結(jié)論知，f（x）是R上的增函數(shù)，
∴3m²-m-2＞2，
3m²-m-4＞0，
∴m＜-1或m＞$\frac{4}{3}$，
即不等式的解集為{m|m＜-1或m＞$\frac{4}{3}$}．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性證明和利用單調(diào)性定義解抽象不等式，利用定義法以及轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．