Question

15．如圖在長方形ABCD中，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b，N$是CD的中點，M是線段AB上的點，$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1$．
（1）若M是AB的中點，求證：$\overrightarrow{AN}$與$\overrightarrow{CM}$共線；
（2）在線段AB上是否存在點M，使得$\overrightarrow{BD}$與$\overrightarrow{CM}$垂直？若不存在請說明理由，若存在請求出M點的位置；
（3）若動點P在長方形ABCD上運動，試求$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的最大值及取得最大值時P點的位置．

Answer 1

分析 （1）建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，得到$\overrightarrow{AN}$與$\overrightarrow{CM}$的坐標(biāo)，由共線向量基本定理得答案；
（2）假設(shè)存在M，設(shè)出M的坐標(biāo)，由數(shù)量積運算求得M的坐標(biāo)；
（3）直接利用向量在向量方向上的投影結(jié)合圖形得答案．

解答 （1）證明：如圖以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
當(dāng)M是AB的中點時，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），
$\overrightarrow{AN}=（1，1），\overrightarrow{CM}=（-1，-1）$，
由$\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{CM}$，可得$\overrightarrow{AN}$與$\overrightarrow{CM}$共線；
（2）解：假設(shè)線段AB上是否存在點M，使得$\overrightarrow{BD}$與$\overrightarrow{CM}$垂直，
設(shè)M（t，0）（0≤t≤2），則B（2，0），D（0，1），M（t，0），
$\overrightarrow{BD}=（-2，1），\overrightarrow{CM}=（t-2，-1）$，
由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CM}$=-2（t-2）-1=0，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴線段AB上存在點$M（\frac{3}{2}，0）$，使得$\overrightarrow{BD}$與$\overrightarrow{CM}$垂直；
（3）解：由圖看出，當(dāng)P在線段BC上時，$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影最大，
則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$有最大值為4．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量在向量方向上的投影，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．