Question

7．（1）在區(qū)間[1，5]和[2，4]上分別任取一個(gè)整數(shù)，記為a，b，則方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓的概率為多少？
（2）在區(qū)間[1，5]和[2，4]上分別任取一個(gè)實(shí)數(shù)，記為a，b，則方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓的概率為多少？

Answer 1

分析 （1）先求出區(qū)間[1，5]和[2，4]上分別任取一個(gè)整數(shù)的總的事件總數(shù)，再求出滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式即可求出，
（2）如圖，求出矩形的面積為8，陰影部分的面積為$\frac{15}{4}$，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）a可取1，2，3，4，5，b可取2，3，4，故可以構(gòu)成15個(gè)曲線方程，又$\left\{\begin{array}{l}a＞b\\ \frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}a＞b\\ \frac{a}＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=2\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=3\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=4\end{array}\right.$，故P=$\frac{4}{15}$；
（2）如圖，a，b可構(gòu)成矩形，
又$\left\{\begin{array}{l}a＞b\\ \frac{a}＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a＞b\\ 2b＞a\end{array}\right.$，即陰影區(qū)域，
則$P=\frac{S_陰}{{{S_{矩形}}}}=\frac{{\frac{15}{4}}}{8}=\frac{15}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型公式的運(yùn)用，幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)公式解答．