Question

9．在三棱錐ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐的外接球的表面積為43π．

Answer 1

分析 分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接相應(yīng)的線段，由條件可知，球心G在EF上，可以證明G為EF中點(diǎn)，求出球的半徑，然后求出球的表面積．

解答 解：分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，
連接相應(yīng)的線段CE，ED，EF，
由條件，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，可知，△ABC與△ADB，都是等腰三角形，
AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，
同理CD⊥EF，
∴EF是AB與CD的公垂線，球心G在EF上，可以證明G為EF中點(diǎn)，（△AGB≌△CGD）
DE=$\sqrt{25-9}$=4，DF=3，EF=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
球半徑DG=$\sqrt{\frac{7}{4}+9}$=$\frac{\sqrt{43}}{2}$，
∴外接球的表面積為4π×DG²=43π，
故答案為：43π．

點(diǎn)評 本題考查球的內(nèi)接幾何體，球的表面積的求法，考查計算能力．