Question

10．在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，$\frac{a}$+$\frac{a}$=6cosC，則$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=4．

Answer 1

分析 化簡已知條件可得a²+b²=$\frac{3}{2}$c²．再利用正弦定理、余弦定理化簡要求的式子為 $\frac{{c}^{2}}{ab•cosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab}$•$\frac{2ab}{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}$，從而求得結(jié)果．

解答 解：銳角三角形ABC中，∵$\frac{a}$+$\frac{a}$=6cosC，則由余弦定理可得 $\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{ab}$=6•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，
化簡可得a²+b²=$\frac{3}{2}$c²．
又 $\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{sinCcosA}{cosCsinA}$+$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}$=$\frac{sinC}{cosC}$•（$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$）=$\frac{sinC}{cosC}•$ $\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinA•sinB}$=$\frac{{sin}^{2}C}{sinAsinBcosC}$ 
=$\frac{{c}^{2}}{ab•cosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab}$•$\frac{2ab}{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}$=$\frac{{2c}^{2}}{{\frac{3}{2}c}^{2}{-c}^{2}}$=4，
故答案為：4．

點評 本題主要考查了三角形的 正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用求解三角函數(shù)值，屬于基本公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．