Question

13．已知${（\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}）^n}$的展開式中，
（1）若第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56﹕3，求展開式中的常數(shù)項；
（2）求證：二項式${（\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}）^n}$與${（\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}）^{n+1}}$的展開式中不可能都有常數(shù)項．

Answer 1

分析 （1）在展開式的通項中，令x=1得出第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)表達式，由已知，求出n，再在通項中令x得指數(shù)為0，確定常數(shù)項．
（2）假設(shè)兩個展開式中都含有常數(shù)項，根據(jù)展開式求出常數(shù)項，得到矛盾．

解答 解：展開式的通項為${T}_{k+1}={C}_{n}^{k}•{（\sqrt{x}）}^{n-k}•{（\frac{2}{{x}^{2}}）}^{k}={C}_{n}^{k}{•2}^{k}{•x}^{\frac{n-5k}{2}}$，
第5項的系數(shù)為${C}_{n}^{4}$•2⁴，第3項的系數(shù)為${C}_{n}^{2}•{2}^{2}$，
由已知，得出${C}_{n}^{4}$•2⁴：${C}_{n}^{2}•{2}^{2}$=56：3，解得n=10或n=-5（舍），
所以通項公式${T}_{k+1}={C}_{10}^{k}{（\sqrt{x}）}^{10-k}{（\frac{2}{{x}^{2}}）}^{k}={C}_{10}^{k}{2}^{k}{x}^{5-\frac{5}{2}k}$，
當(dāng)k=2時，取到常數(shù)項 即T₃=180．
（2）假設(shè)它們的展開式都有常數(shù)項，分別為第r+1和k+1項，
則${T}_{r+1}={2}^{r}{C}_{n}^{r}{x}^{\frac{n-5r}{2}}$為常數(shù)項，由$\frac{n-5r}{2}=0$得n=5r，即n是5的倍數(shù)，
${T}_{k+1}={2}^{k}{C}_{n+1}^{k}{x}^{\frac{n+1-5k}{2}}$為常數(shù)項，由$\frac{n+1-5k}{2}$=0得n=5r-1，即n不是5的倍數(shù)，兩者矛盾，
∴假設(shè)不成立，即原命題成立．

點評 本題考查二項式定理的應(yīng)用：求指定的項．牢記公式是基礎(chǔ)，考查學(xué)生的運算能力．