Question

8．已知邊長為6的正方形ABCD所在平面外一點P，且PD⊥平面ABCD，PD=8
（Ⅰ）連接PB、AC，證明：PB⊥AC；
（Ⅱ）連接PA，求PA與平面PBD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證PB⊥AC，只需證明AC垂直PB所在平面即可，因為PB在平面PBD中，AC垂直平面PBD中的兩條相交直線PD和BD，所以問題得證．
（Ⅱ）欲求PA與平面PBD所成的角的大小，只需找到PA在平面PBD中的射影，PA與它的射影所成角即為所求，再放入三角形中，解三角形即可．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，所以，PD⊥AC，
所以AC⊥平面PBD，故PB⊥AC．
（Ⅱ）解：因為AC⊥平面PBD，設(shè)AC與BD交于O，連接PO，則∠APO就是PA與平面PBD所成的角，
在△APO中，AO=3$\sqrt{2}$，AP=10，
所以sin∠APO=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，
所以∠APO=arcsin$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，
所以PA與平面PBD所成的角的大小為arcsin$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題主要考查了直線與直線垂直的證明，直線與平面所成角的計算，以及點到平面的距離的求法，屬于立體幾何的常規(guī)題．