Question

9．若實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，且a+b+c=4，則a+c的取值范圍是[$\frac{8}{3}$，4）∪（4，8]．

Answer 1

分析 實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，設公比為q，則a=$\frac{q}$，c=bq．又a+b+c=4，可得b=$\frac{4}{\frac{1}{q}+q+1}$．當q＞0時，$0＜b≤\frac{4}{3}$．當q＜0時，0＞b≥-4．即可得出a+c=4-b的取值范圍．

解答 解：實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，設公比為q，
則a=$\frac{q}$，c=bq．
又a+b+c=4，
∴$\frac{q}$+b+bq=4，
∴b=$\frac{4q}{1+q+{q}^{2}}$=$\frac{4}{\frac{1}{q}+q+1}$．
當q＞0時，$0＜b≤\frac{4}{3}$，當且僅當q=1時取等號．
當q＜0時，0＞b≥-4，當且僅當q=-1時取等號．
∴a+c=4-b，
∴當q＞0時，（a+c）∈[$\frac{8}{3}$，4）；
當q＜0時，（a+c）∈（4，8]．
則a+c的取值范圍是[$\frac{8}{3}$，4）∪（4，8]．
故答案為：[$\frac{8}{3}$，4）∪（4，8]．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．