Question

14．已知⊙O：x²+y²=1和點M（1，4）．
（1）過點M向⊙O引切線，求切線的方程；
（2）求以點M為圓心，且被直線y=2x-8截得的弦長為8的⊙M的方程；
（3）設(shè)P為（2）中⊙M上任意一點，過點P向⊙O引切線，切點為Q．試探究：平面內(nèi)是否存在一定點R，使得$\frac{PQ}{PR}$為定值？若存在，請求出定點R的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）M（1，4）在圓外，切線有兩條；
（2）求出點M（1，4）到直線2x-y-8=0的距離，利用弦長，可求圓M的方程；
（3）假設(shè)存在定點R，使得$\frac{PQ}{PR}$為定值，設(shè)R（a，b），P（x，y），$\frac{P{Q}^{2}}{P{R}^{2}}$=λ，可得（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a²λ-b²λ）=0（*），若使（*）對任意x，y恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{2-2λ+2aλ=0}\\{8-8λ+2bλ=0}\\{18-19λ-{a}^{2}λ-^{2}λ=0}\end{array}\right.$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）若過點M的直線斜率不存在，直線方程為：x=1，為圓O的切線； …（1分）
當(dāng)切線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為：y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
∴圓心O到切線的距離為：$\frac{|-k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，解得：k=$\frac{15}{8}$
∴直線方程為：15x-8y+17=0．
綜上，切線的方程為：x=1或15x-8y+17=0…（4分）
（2）點M（1，4）到直線2x-y-8=0的距離為：d=$\frac{|2-4-8|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
又∵圓被直線y=2x-8截得的弦長為8，
∴r=$\sqrt{20+16}$=6…（7分）
∴圓M的方程為：（x-1）²+（y-4）²=36…（8分）
（3）假設(shè)存在定點R，使得$\frac{PQ}{PR}$為定值，設(shè)R（a，b），P（x，y），$\frac{P{Q}^{2}}{P{R}^{2}}$=λ
∵點P在圓M上，∴（x-1）²+（y-4）²=36，則x²+y²=2x+8y+19…（10分）
∵PQ為圓O的切線，∴OQ⊥PQ，
∴PQ²=PO²-1=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²，
∴x²+y²-1=λ[（x-a）²+（y-b）²]，即2x+8y+19-1=λ（2x+8y+19-2ax-2by+a²+b²）
整理得：（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a²λ-b²λ）=0（*）
若使（*）對任意x，y恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{2-2λ+2aλ=0}\\{8-8λ+2bλ=0}\\{18-19λ-{a}^{2}λ-^{2}λ=0}\end{array}\right.$…（13分）
∴a=$\frac{λ-1}{λ}$，b=$\frac{4λ-4}{λ}$，代入得：18-19λ-$（\frac{λ-1}{λ}）^{2}λ$-$（\frac{4λ-4}{λ}）^{2}λ$=0
整理得：36λ²-52λ+17=0，解得：$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{17}{18}$
∴$λ=\frac{1}{2}，a=-1，b=-4$或$λ=\frac{17}{18}$，a=-$\frac{1}{17}$，b=-$\frac{4}{17}$
∴存在定點R（-1，-4），此時$\frac{PQ}{PR}$為定值$\frac{\sqrt{2}}{2}$或定點（-$\frac{1}{17}$，-$\frac{4}{17}$），此時$\frac{PQ}{PR}$為定值$\frac{\sqrt{34}}{6}$．…（16分）

點評 此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運用兩點間的距離公式及點到直線的距離公式化簡求值，會根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓的標(biāo)準方程，是一道綜合題．