Question

6．已知x∈R，求證：cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而求出其最小值為f（0）=0，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性證明即可．

解答 證明：令f（x）=cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$，則f′（x）=x-sinx．
當(dāng)x＞0時(shí)，由單位圓中的正弦線知必有x＞sinx，
∴f′（x）＞0，
即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
又∵f（0）=0，且f（x）連續(xù)，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞]內(nèi)的最小值 f（0）=0，
即f（x）≥0，得cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$≥0，
即cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$．∵f（-x）=cos（-x）-1+$\frac{{（-x）}^{2}}{2}$=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，
即當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）≥0仍成立．
∴對任意的x∈R，都有cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考察了不等式的證明，考察函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題，是一道中檔題．