6.已知x∈R,求證:cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$.

分析 先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性,從而求出其最小值為f(0)=0,再結(jié)合函數(shù)的奇偶性證明即可.

解答 證明:令f(x)=cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$,則f′(x)=x-sinx.
當(dāng)x>0時(shí),由單位圓中的正弦線知必有x>sinx,
∴f′(x)>0,
即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
又∵f(0)=0,且f(x)連續(xù),
∴f(x)在區(qū)間[0,+∞]內(nèi)的最小值 f(0)=0,
即f(x)≥0,得cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$≥0,
即cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$.∵f(-x)=cos(-x)-1+$\frac{{(-x)}^{2}}{2}$=f(x),
∴f(x)為偶函數(shù),
即當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)≥0仍成立.
∴對任意的x∈R,都有cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$.

點(diǎn)評 本題考察了不等式的證明,考察函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.設(shè)△ABC三邊為a,b,c,其對應(yīng)角分別為A,B,C,若a=5,b=4,cosC是方程2x2-3x-2=0的一個(gè)根,求邊長c.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.在△OAB中,已知P為線段AB上的一點(diǎn),若$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PA}$,|$\overrightarrow{OA}$|=4,|$\overrightarrow{OB}$|=2,且$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為60°,則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$=-9.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.如圖,A,B是單位圓O上的動(dòng)點(diǎn),C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn),設(shè)∠COA=α.
(1)當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為$(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$時(shí),求$\frac{cos2α}{1+sin2α}$的值.
(2)若0≤α≤$\frac{π}{3}$,且當(dāng)點(diǎn)A,B在圓上沿逆時(shí)針方向移動(dòng)時(shí),總有∠AOB=$\frac{π}{3}$,試求BC的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.集合A={0,1,2,3,4},$B=\left\{{x|x=\sqrt{n},\;n∈A}\right\}$,則A∩B的真子集個(gè)數(shù)為7.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.若直線(k2-1)x-y+1-2k=0不過第二象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍[1,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.下列四個(gè)函數(shù)中,在(-∞,0)上是增函數(shù)的為( 。
A.f(x)=x2+4B.f(x)=log2xC.f(x)=2xD.$f(x)=3+\frac{2}{x}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為12+3$\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.已知直線1的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{4}{5}t}\\{y=-2+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.(t∈R)$(t∈R),求過點(diǎn)(4,-1)且與l平行的直線m在y軸上的截距為-4.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案