分析 先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性,從而求出其最小值為f(0)=0,再結(jié)合函數(shù)的奇偶性證明即可.
解答 證明:令f(x)=cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$,則f′(x)=x-sinx.
當(dāng)x>0時(shí),由單位圓中的正弦線知必有x>sinx,
∴f′(x)>0,
即f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
又∵f(0)=0,且f(x)連續(xù),
∴f(x)在區(qū)間[0,+∞]內(nèi)的最小值 f(0)=0,
即f(x)≥0,得cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$≥0,
即cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$.∵f(-x)=cos(-x)-1+$\frac{{(-x)}^{2}}{2}$=f(x),
∴f(x)為偶函數(shù),
即當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)≥0仍成立.
∴對任意的x∈R,都有cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$.
點(diǎn)評 本題考察了不等式的證明,考察函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題,是一道中檔題.
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A. | f(x)=x2+4 | B. | f(x)=log2x | C. | f(x)=2x | D. | $f(x)=3+\frac{2}{x}$ |
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