Question

14．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$（α為參數(shù)），過點P（1，0）的直線l交曲線C于A，B兩點．
（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）求|PA|•|PB|的最值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α為參數(shù)）$，利用cos²α+sin²α=1消去參數(shù)α得曲線C的普通方程．
（2）由題意知，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}}\right.（t為參數(shù)）$，代入橢圓方程得（cos²θ+2sin²θ）t²+2tcosθ-1=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|PA|PB|=|t₁t₂|，及其三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α為參數(shù)）$，
消去參數(shù)α得曲線C的普通方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）由題意知，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}}\right.（t為參數(shù)）$，
代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得（cos²θ+2sin²θ）t²+2tcosθ-1=0．
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=$\frac{-1}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$．
則$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{1}{{{{cos}^2}θ+2{{sin}^2}θ}}=\frac{1}{{1+{{sin}^2}θ}}∈[\frac{1}{2}，1]$．
∴|PA|•|PB|的最大值為1，最小值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．