Question

12．若函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$ax²-2x在x∈（1，2）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，$\frac{4}{5}$）
• C． （0，1）
• D． （0，$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 由題意可得f′（x）≤0在x∈（1，2）上成立，即a≤$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$在x∈（1，2）上成立，令g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，則g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，在x∈（1，2）上單調(diào)遞減，即可得出結論．

解答 解：f′（x）=$\frac{a}{x}$+ax-2，
∴f′（x）≤0在x∈（1，2）上成立，
即$\frac{a}{x}$+ax-2≤0，在x∈（1，2）上成立，
即a≤$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$在x∈（1，2）上成立．
令g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{1+{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，在x∈（1，2）上單調(diào)遞減，
∵g（2）=$\frac{4}{5}$，
∴a＜$\frac{4}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性知識及轉(zhuǎn)化劃歸思想的運用能力，屬中檔題．